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Montevideo, Uruguay - 4/09/09 - mosaicos.gauss@gmail.com - MATEMÁTICA

 

     

Razón áurea

 

   

La razón áurea, también conocida como la proporción divina, es un número encontrado frecuentemente cuando se hallan las distancias en figuras geométricas simples como el pentágono, el decaedro y el dodecaedro. Se denota f, o a veces t.

golden ratioDado un rectángulo de lado 1 y x, se define f como el único número x tal que la partición del rectángulo original resulta en un cuadrado y un nuevo rectángulo cuyas proporciones son iguales al rectangulo original, como lo muestra la figura. El nuevo rectángulo tiene la misma proporción que el rectángulo original.

Es decir que:

 phi/1=1/(phi-1),
(1)

que nos da

 phi^2-phi-1=0.
(2)

Euclides definió f como el número que verifica la razón entre algunos segmentos de la figura. En particular:

GoldenRatioExtremeAndMean

 

 

 

Reemplazando con las longitudes de los segmentos nos queda:

 (phi+1)/phi=phi,
(4)

y quitando el denominador:

 phi^2-phi-1=0,
(5)

que es exactamente la misma fórmula obtenida anteriormente. Al resolver la ecuación, y tomando la raíz positiva encontramos el valor de f:

phi = 1/2(1+sqrt(5))
(6)
phi = 1.618033988749894848204586834365638117720...
(7)

El número f es también el límite de una sucesión paricular que consiste en tomar la razón de dos números consecutivos de la sucesión de fibonacci:

1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, ...

Podemos definir entonces la razón áurea como:

 phi=lim_(n->infty)x_n=lim_(n->infty)(F_n)/(F_(n-1)),
(19)

donde (Fn) es la sucesión de Fibonacci.

Otras fórmulas:

 phi=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+...))))
(15)

Se puede observar que f es un candidato perfecto para representar a los números irracionales.

 phi=[1,1,1,...]=1+1/(1+1/(1+1/(1+...))) = f
(16)

 

 

 

La proporción áurea

Weisstein, Eric W. "Golden Ratio." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html

 

       

 

 

 

 

 

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